TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

PARA TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Em física matemática, a aproximação WKB ou método WKB é um método de encontrar soluções aproximadas de equações diferenciais parciais com coeficientes variando no espaço. É geralmente utilizado para cálculos quase-clássicos na mecânica quântica, na qual a função de onda é reescrita como uma função exponencial, quase-classicamente expandida, e em seguida a amplitude ou a fase é variada lentamente.

O nome é um acrônimo para Wentzel-Kramers-Brillouin. Também é conhecido como o método LG ou método de Liouville-Green. Outras siglas, muitas vezes utilizadas para o método, são JWKB e WKBJ, onde o "J" significa Jeffreys.

Breve história[editar | editar código-fonte]

Este método tem esse nome em homenagem aos físicos Wentzel, Kramers, e Brillouin, que o desenvolveram em 1926. Em 1923, o matemático Harold Jeffreys tinha desenvolvido um método geral de aproximar soluções para equações diferenciais de segunda ordem lineares, que inclui a equação de Schrödinger. Porém, apesar de a equação de Schrödinger ter sido desenvolvida dois anos depois, Wentzel, Kramers e Brillouin aparentemente desconheciam esse trabalho anterior, de modo que Jeffreys muitas vezes não recebe créditos pelo método. A literatura do início da mecânica quântica contém um número de combinações de suas iniciais, incluindo WBK, BWK, WKBJ, JWKB e BWKJ.

As referências anteriores ao método são: Carlini em 1817, Liouville em 1837, George Green em 1837, Rayleigh em 1912 e Gans em 1915. Pode-se dizer que Liouville e Green são os criadores do método, em 1837, que também é comumente referido como o método Liouville-Green ou método LG.^[1] [2]

A importante contribuição de Jeffreys, Wentzel, Kramers e Brillouin ao método foi a inclusão do tratamento dos pontos de retorno, que conectam as soluções evanescentes e oscilatórias em ambos os lados do ponto de retorno. Por exemplo, isso pode ocorrer na equação de Schrödinger, devido a um poço de energia potencial.

Método WKB[editar | editar código-fonte]

Geralmente, a aproximação WKB é um método para aproximar a solução de uma equação diferencial onde a derivada de maior ordem é multiplicada por um parâmetro ε pequeno. O método de aproximação é o seguinte:

Uma equação diferencial

${\displaystyle \epsilon {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a(x){\frac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+m(x)y=0}$

deve admitir uma solução em forma de série assintótica de expansão

${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right].}$

No limite ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$. A substituição do ansatz acima na equação diferencial e o cancelamento dos termos exponenciais permitem que se resolva para um número arbitrário de termos ${\displaystyle S_{n}(x)}$ na expansão. A teoria WKB é um caso especial de análise em escala múltipla.^[3][4][5]

Um exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

onde ${\displaystyle Q(x)\neq 0}$. Substituindo

${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$

resulta na equação

${\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x).}$

Como regra principal (assumindo, no momento, que a série será assintoticamente consistente), a expressão acima pode ser aproximada como

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).}$

No limite ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$,o termo dominante é dado por

${\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).}$

Assim, δ é proporcional a ε. Igualando-os e comparando as potências, temos

${\displaystyle \epsilon ^{0}:\;\;\;S_{0}'^{2}=Q(x),}$

que pode ser reconhecido como a equação eikonal, com solução

${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt.}$

Comparando as potências de primeira ordem de ${\displaystyle \epsilon }$, vem

${\displaystyle \epsilon ^{1}:\;\;\;2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.}$

Esta é a equação de transporte unidimensional, que tem a solução

${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\log \left(Q(x)\right)+k_{1}\,,}$

onde ${\displaystyle k_{1}}$ é uma constante arbitrária. Agora temos um par de aproximações para o sistema (um par porque ${\displaystyle S_{0}}$ pode ser positivo ou negativo). A aproximação WKB de primeira ordem será uma combinação linear de:

${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right].}$

Os termos de ordem superior podem ser obtidos comparando-se as equações para potências mais altas de ε. Explicitamente,

${\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0,}$

para ${\displaystyle n>2}$. Este exemplo vem do livro de Bender e Orszag (ver referências).

Precisão da série assintótica[editar | editar código-fonte]

A série assintótica para ${\displaystyle y(x)}$ em geral é uma série divergente cujo termo geral ${\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)}$ começa a aumentar após um certo valor ${\displaystyle n=n_{\max }}$. Portanto, o menor erro obtido pelo método WKB é, na melhor das hipóteses, da ordem do último termo incluído. Para a equação

${\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$

com ${\displaystyle Q(x)<0}$ uma função analítica, o valor ${\displaystyle n_{\max }}$ e a magnitude do último termo podem ser estimados da seguinte forma (ver Winitzki 2005),

${\displaystyle n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}dz{\sqrt {-Q(z)}}\right|,}$

${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],}$

onde ${\displaystyle x_{0}}$ é o ponto em que ${\displaystyle y(x_{0})}$ precisa ser avaliado e ${\displaystyle x_{\ast }}$ é o ponto de retorno (complexo) onde ${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$, mais próximo de ${\displaystyle x=x_{0}}$. O número ${\displaystyle n_{\max }}$ pode ser interpretado como o número de oscilações entre ${\displaystyle x_{0}}$ e o ponto de retorno mais próximo. Se ${\displaystyle \epsilon ^{-1}Q(x)}$ é uma função que varia lentamente,

${\displaystyle \epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},}$

o número ${\displaystyle n_{\max }}$ será grande, e o erro mínimo histórico da série assintótica será exponencialmente pequeno.

Aplicação à equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A equação de Schrödinger unidimensional e independente do tempo é

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$

que pode ser reescrita como

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$

A função de onda pode ser reescrita como a exponencial de outra função Φ(que está intimamente relacionada com a ação):

${\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)},\!}$

de modo que

${\displaystyle \Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),}$

onde ${\displaystyle \Phi '}$ indica a derivada de ${\displaystyle \Phi }$ em relação a x. A derivada ${\displaystyle \Phi '(x)}$ pode ser separada em partes real e imaginária, introduzindo as funções reaisAeB

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x).\;}$

A amplitude da função de onda é então ${\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!,}$ enquanto que a fase é ${\displaystyle \int ^{x}B(x')dx'\,\!.}$ As partes real e imaginária da equação de Schrödinger tornam-se, então

${\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),}$

${\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;}$

Em seguida, faz-se a aproximação quase-clássica. Isto significa que cada função é expandida como uma série de potências em ${\displaystyle \hbar }$. A partir das equações, pode -se ver que a série de potências deve começar com pelo menos uma ordem de ${\displaystyle \hbar ^{-1}}$ para satisfazer a parte real da equação. A fim de alcançar um bom limite clássico, é necessário começar com a potência mais alta possível da constante de Planck:

${\displaystyle A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x),}$

${\displaystyle B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x).}$

Para o termo de ordem zero, as condições sobre A e B podem ser escritas:

${\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right),}$

${\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;.}$

Se a amplitude varia suficientemente lenta em comparação com a fase (${\displaystyle A_{0}(x)=0}$), segue que

${\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}},}$

que só é válida quando a energia total é maior do que a energia potencial, como sempre acontece no movimento clássico. Após o mesmo procedimento para o próximo termo, segue-se que

${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}.}$

Por outro lado, se é a fase que varia lentamente (em comparação com a amplitude), (${\displaystyle B_{0}(x)=0}$) e então

${\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}},}$

que só é válido quando a energia potencial é maior do que a energia total (o regime em que o tunelamento quântico ocorre). Encontrando os termos da expansão de próxima ordem

${\displaystyle \Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}.}$

Decorre do denominador que ambas as soluções aproximadas tornam-se singulares próximas do ponto de retorno clássico, em que ${\displaystyle E=V(x)}$ e não podem ser mais válidas. Estas são as soluções aproximadas longe do potencial e abaixo do potencial. Longe do potencial, a partícula se move de maneira similar a uma onda viajante - a função de onda é oscilante. Abaixo do potencial, a partícula passa por variações exponenciais na amplitude.

Para completar a dedução, as soluções aproximadas devem ser encontradas em toda parte, e seus coeficientes devem ser combinados para construir-se uma única solução aproximada. A solução aproximada próxima aos pontos de retorno clássicos ${\displaystyle E=V(x)}$ ainda está para ser encontrada.

Para um ponto de retorno clássico ${\displaystyle x_{1}}$ e perto de ${\displaystyle E=V(x_{1})}$, o termo ${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$ pode ser expandido em uma série de potências.

${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$

Para a primeira ordem, temos

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x).}$

Esta equação diferencial é conhecida como equação de Airy, e a solução pode ser escrita em termos das funções de Airy:

${\displaystyle \Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right).}$

Esta solução deve se conectar às soluções acima e abaixo. Dados os dois coeficientes de um dos lados do ponto de retorno clássico, os 2 coeficientes do outro lado do ponto de retorno clássico podem ser determinados por esta solução local que os conecta. Assim, uma relação entre ${\displaystyle C_{0},\theta }$ and ${\displaystyle C_{+},C_{-}}$ pode ser encontrada.

Felizmente, as funções de Airy tendem assintoticamente ao seno, cosseno e funções exponenciais dos limites próprios. A relação pode ser encontrada como sendo da seguinte forma (muitas vezes referida como "fórmulas de conexão"):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{+}&=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},\\C_{-}&=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}.\end{aligned}}}$

Agora as soluções totais (aproximadas) podem ser construídas.

Radiação Hawking é, em física, a radiação térmica que se acredita ser emitida por buracos negros devido a efeitos quânticos. Ela leva o nome do cientista inglês Stephen Hawking, que elaborou os argumentos teóricos de sua existência em 1974. Como a radiação Hawking permite aos buracos negros perder massa, supõe-se que os buracos negros que perdem mais matéria do que ganham por outros meios, venham a evaporar, encolher, e finalmente desaparecer.

Buracos negros são locais de grande atração gravitacional em torno do qual matéria é arrastada. Classicamente, a gravidade é tão forte que nada, nem sequer radiação (como é o caso da luz, onda eletromagnética) pode escapar de um buraco negro. Ainda não se sabe como a gravidade pode ser incorporada à mecânica quântica, no entanto, longe do buraco negro, seus efeitos gravitacionais podem ser fracos o suficiente para que possam ser realizados confiáveis cálculos no âmbito da teoria quântica de campo em curvas de espaço-tempo.

Hawking mostrou que efeitos quânticos permitem aos buracos negros emitir radiações exatamente como um corpo negro (a média da radiação térmica emitida por uma fonte idealizada), cuja temperatura está inversamente relacionada à massa do buraco negro.

Os miniburacos negros são previstos atualmente pela teoria como sendo, proporcionalmente, emissores de radiação mais poderosos do que buracos negros maiores, e diminuir e evaporar mais rapidamente.

A descoberta de Hawking foi o primeiro vislumbre convincente sobre a gravidade quântica. Entretanto, a existência da radiação Hawking continua controversa.

Formas e ordens de grandeza[editar | editar código-fonte]

Um famoso cálculo que deu origem ao que é chamado de termodinâmica de buracos negros foi usado para mostrar que podemos expressar a massa M de um buraco negro em função do seu tamanho (na verdade, a superfície em função do seu horizonte A) e doutros parâmetros macroscópicos que o caracterizam, ou seja, para um buraco negro de tipo astrofísico, a sua carga elétrica Q e seu momento cinético L. Há, portanto, uma função da forma

${\displaystyle M=M(A,Q,L)}$.

A quantidade ${\displaystyle \partial M/\partial A}$ pode ser escrita na forma:

${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial A}}={\frac {1}{8\pi }}{\frac {1}{G}}\kappa }$

onde G é constante de Newton e κ é uma quantidade chamada de superfície gravidade do buraco negro, que determina quão rápido o campo gravitacional de um buraco negro aumenta à medida que seu horizonte se aproxima. Os cálculos de Hawking sobre a evaporação de buracos negros indicam que a temperatura T que pode ser associada é dada por

${\displaystyle T={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }}}{\frac {\hbar \kappa }{2\pi c}}}$

onde ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }\!}$ é a constante de Boltzmann, c é a velocidade da luz, e ${\displaystyle {\hbar \kappa }}$ a constante de Planck reduzida. Esta temperatura é chamada temperatura Hawking. Isto justifica todos os cálculos sobre a termodinâmica dos buracos negros: a diferença de massa em função da área de outras quantidades identificadas com a fórmula do primeiro princípio da termodinâmica,

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+\dots }$,

onde a energia interna U é substituída em caso de buracos negros por sua massa (que representa o total de energia) e entropia S é, de acordo com os cálculos da termodinâmica de buracos negros, proporcional à superfície. Para fazer com que toda a termodinâmica dos buracos negros seja coerente, é exigida a prova de que os buracos negros podem ter uma temperatura proporcional à gravidade da superfície, que foi realizada por Hawking.

Konoplya, Zinhailo e Stuchlík inventam uma fórmula para calcular a radiação de Hawking no horizonte de eventos de um buraco negro^[1], que permite aos físicos determinar como essa radiação seria alterada com correções quânticas da teoria da gravidade de Einstein.^[2]

O fenômeno da desintegração espontânea do núcleo de um átomo com a emissão de algumas radiações é chamado de radioatividade. A radioatividade transforma núcleos instáveis fazendo surgir as radiações α, β e γ.

A lei fundamental do decaimento radioativo afirma que a taxa de decaimento é proporcional ao número de núcleos que ainda não decaíram:

${\displaystyle N=N_{o}.e^{-\lambda .t}}$

Esta é a equação da lei básica para a radioatividade.

A medida da intensidade da radioatividade é feita em duas unidades que são:

• Curie: Definido como a quantidade de material radioativo que

dá ${\displaystyle 3,7\times 10^{10}}$ desintegrações por segundo.

• Rutherford (Rd): é definido como a quantidade de substância radioativa que dá ${\displaystyle 10^{6}}$ desintegrações por segundo.

Na natureza existem elementos radioativos que exibem transformação sucessiva, isto é, um elemento decai em substância radioativa que também é radioativa. Na transformação radioativa sucessiva, se o número de nuclídeos qualquer membro da cadeia é constante e não muda com o tempo, é chamado em equilíbrio radioativo.^[3] A condição de equilíbrio é portanto:

${\displaystyle N_{p}=-\lambda _{p}N_{p}=0}$

${\displaystyle {\frac {dN_{d}}{dt}}=-\lambda _{D}N_{D}=0}$

ou

${\displaystyle \lambda _{p}N_{p}=\lambda _{D}N_{D}}$

${\displaystyle \lambda _{p}N_{p}=\lambda _{G}N_{G}}$.

Onde os subscritos P, D e G indicam núcleo-pai (do Inglês parent), núcleo-filha (do Inglês daughter) e núcleo-neta (do Inglês granddaughter) respectivamente.

O estudo da radioatividade e radioisótopos tem várias aplicações na ciência e tecnologia. Algumas delas são:

1. Determinação da idade de materiais antigos com auxílio de elementos radioativos.

2. Análises para obtenção de vestígios de elementos.

3. Aplicações médicas como diagnóstico e tratamento.

Quantização da radioatividade[editar | editar código-fonte]

O decaimento radioativo é um processo que envolve conceitos de probabilidade. Partículas dentro de um átomo têm certas probabilidades de decair por unidade de tempo de uma maneira espontânea. A probabilidade de decaimento é independente da vida previa da partícula. Por exemplo se N(t) é considerado o número de partículas como função do tempo, então, temos a taxa de decaimento sendo proporcional a N.^[5]

Formulando matematicamente temos:

${\displaystyle {\frac {-dN(t)}{dt}}=\lambda N}$

A constante de proporcionalidade tem dimensão inversamente proporcional ao tempo.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}}$

onde ${\displaystyle N_{0}}$ é o número inicial de partículas. O número de partículas de um dado elemento decai exponencialmente numa taxa diretamente proporcional ao elemento. Define-se a vida média de um elemento como

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}$

Tendo um exemplo de muitas partículas, 1/e delas (cerca de 37,8%) não decairão após um tempo ${\displaystyle \tau }$ . Na Física Nuclear trabalha-se com o conceito de vida média, que é o tempo depois do qual a amostra se reduziu à metade.^[5]

Relacionando essas duas quantidades ,assim temos:

${\displaystyle e^{-t1/2/\tau }={\frac {1}{2}}\Rightarrow t1/2=\tau \ln 2}$

Em matemática, o método de Laplace é uma técnica originalmente desenvolvida por Pierre-Simon Laplace (1774, p. 366-367) para aproximar integrais da forma

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx}$

onde ${\displaystyle f(x)}$ é uma função duplamente diferenciável, M é um grande número, e os pontos finais da integral a e b podem estar no infinito.

A ideia do método de Laplace[editar | editar código-fonte]

A função ${\displaystyle e^{Mf(x)},}$ em azul, é mostrado no topo para ${\displaystyle M=0.5,}$ e em baixo para ${\displaystyle M=3.}$ Aqui, ${\displaystyle f(x)=\sin x/x,}$ com um máximo global em ${\displaystyle x_{0}=0.}$ Isto é visto que como ${\displaystyle M}$ cresce de maneira mais acentuada, a aproximação desta função por uma função Gaussiana (mostrada em vermelho) é melhor obtida. Esta observação é subjacente ao método de Laplace.

Assumindo que a função f(x) tem um único máximo global em x₀. Então, o valor f(x₀) irá ser maior que outros valores f(x). Se nós multiplicarmos esta função por um grande número M, o lapso entre Mf(x₀) e Mf(x) só irá aumentar, e então ele irá crescer exponencialmente para a função

${\displaystyle e^{Mf(x)}.}$

Como tal, contribuições significativas para a integral dessa função só virá a partir de pontos x em um vizinhança de x₀, a qual pode então ser estimada.

Teoria geral do método de Laplace[editar | editar código-fonte]

Para estabelecer e provar o método, são necessários alguns pressupostos. Assume-se que x₀ não é um ponto final do intervalo de integração, que o valor f(x) pode não ser muito próximo a f(x₀) exceto se x é próximo a x₀, e que ${\displaystyle f'''(x_{0})<0}$.

Pode-se expandir f(x) em torno de x₀ pelo teorema de Taylor,

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+R.}$

onde ${\displaystyle R=O\left((x-x_{0})^{3}\right).}$

Desde que f tem um máximo global em x₀, e já que x₀ não é um ponto final, ele é um ponto estacionário, então f'(x₀)=0 nesse ponto. Com essa simplificação, a função f(x) pode ser aproximada a ordem quadrática por

${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})-{\frac {1}{2}}|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}}$

para x próximo a x₀ (lembrando que a segunda derivada é negativa no máximo global f(x₀)). As suposições feitas garantem a precisão da aproximação

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx e^{Mf(x_{0})}\int _{a}^{b}e^{-M|f''(x_{0})|(x-x_{0})^{2}/2}dx}$

(ver a imagem à direita). Esta última integral é uma integral de Gauss se os limites de integração vão de −∞ a +∞ (os quais podem ser assumidos então porque a exponencial decai muito rápido longe de x₀), e então ela pode ser calculada. Encontra-se

${\displaystyle \int _{a}^{b}\!e^{Mf(x)}\,dx\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{M|f''(x_{0})|}}}e^{Mf(x_{0})}{\mbox{ quando }}M\to \infty .}$

Uma generalização deste método e sua extensão a precisão arbitrária é apresentado por Fog (2008).

Extensão do Método de Laplace: Descida mais íngreme[editar | editar código-fonte]

Em extensões do método de Laplace, análise complexa, e em particular a fórmula integral de Cauchy, é usada para encontrar um contorno de descida mais íngreme para uma integral equivalente (assintoticamente com M grande), expressa como uma integral de linha. Em particular, se nenhum ponto x₀ onde a derivada de f desaparece existe sobre a linha real, isto pode ser necessário para deformar o contorno de integração para um ótimo, onde a análise acima será possível. Mais uma vez a idéia principal é reduzir, pelo menos assintoticamente, o cálculo da integral dada aquele de uma integral mais simples que possa ser explicitamente avaliada. Ver o livro de Erdelyi (1956) para uma discussão simples (onde o método é denominado descidas mais íngremes).

Generalizações posteriores[editar | editar código-fonte]

Uma extensão do método da descida mais íngreme é a assim chamada método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. Aqui, ao invés de integrais, é necessário avaliar as soluções assintótcas dos problemas da fatoração de Riemann-Hilbert.

Dado um contorno C na esfera complexa, uma função f definida sobre este contorno e o especial, dito infinito, busca-se uma função M holomórfica distante do contorno C, com lapso previsto em C, e com uma dada normalização no infinito. Se f e portanto M são matrizes ao invés de escalares este é um problema que em geral não admite uma solução explícita.

Uma avaliação assintótica é então possível ao longo das linhas do método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear. A ideia é reduzir assintoticamente a solução do problema de Riemann-Hilbert dado aquele de um problema de Riemann-Hilbert mais simples, explicitamente resolvível. O teorema de Cauchy é usado para ajustar deformações do contorno de lapso.

A fase estacionária não linear foi introduzida por Deift e Zhou em 1993, com base em trabalhos anteriores seus. O método da descida mais íngreme não linear (propriamente falando) foi introduzido por Kamvissis, K. McLaughlin e P. Miller em 2003, baseado em trabalhos prévios de Lax, Levermore, Deift, Venakides e Zhou.

O método da descida mais íngreme/fase estacionária não linear tem aplicações para a teoria de equações sóliton e modelos integráveis, matrizes aleatórias e combinatória.

Integrais complexas[editar | editar código-fonte]

Para integrais complexas na forma:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s)e^{st}\,ds}$

com t >> 1, nós fazemos a substituição t = iu e a mudança de variável s = c + ix para obter a transformação bilateral de Laplace:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }g(c+ix)e^{-ux}e^{icu}\,dx.}$

Então dividimos g(c+ix) em sua partes reais e complexas, após o que recuperamos u = t / i. Isto é útil para tranformadas inversas de Laplace, a fórmula de Perron e integração complexa.

Exemplo 1: aproximação de Stirling[editar | editar código-fonte]

O método de Laplace pode ser usado para derivar a aproximação de Stirling

${\displaystyle N!\approx {\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}}$

para um N inteiro grande.

Da definição da função gama, nós temos

${\displaystyle N!=\Gamma (N+1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{N}dx.}$

Agora, mudamos variáveis, obtendo

${\displaystyle x=Nz}$

tal que

${\displaystyle dx=Ndz.}$

Coloca-se estes valores novamente para obter

${\displaystyle N!}$	${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}\left(Nz\right)^{N}Ndz}$
	${\displaystyle =N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}z^{N}dz}$
	${\displaystyle =N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{-Nz}e^{N\ln z}dz}$
	${\displaystyle =N^{N+1}\int _{0}^{\infty }e^{N(\ln z-z)}dz.}$

Esta integral tem a forma necessária para o método de Laplace com

${\displaystyle f\left(z\right)=\ln {z}-z}$

a qual é duplamente diferenciável:

${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{z}}-1\,,}$

${\displaystyle f''(z)=-{\frac {1}{z^{2}}}.}$

O máximo de f(z) situa-se em z₀=1, e a segunda derivada de f(z) tem neste ponto o valor -1. Então, obtemos

${\displaystyle N!\approx N^{N+1}{\sqrt {\frac {2\pi }{N}}}e^{-N}={\sqrt {2\pi N}}N^{N}e^{-N}.}$

Uma analogia comumente utilizada para explicar tal fenômeno envolve uma colina e um trenó subindo em direção ao cume da colina. Imaginando que o trenó esteja subindo a colina, parte de sua energia cinética que se transforma em energia potencial gravitacional U. Quando o cume da colina é atingido, podemos pensar que o trenó tem energia potencial Ub. Se a energia mecânica inicial E do trenó for maior que Ub, o trenó poderá chegar do outro lado da colina. Contudo, se E for menor que Ub, a física clássica garante que não existe a possibilidade de o trenó ser encontrado do outro lado da colina. Na mecânica quântica, porém, existe uma probabilidade finita de que esse trenó apareça do outro lado, movendo-se para direita com energia E como se nada tivesse acontecido. Dizemos que a colina se comporta como uma barreira de energia potencial, exemplificando de maneira simplória o efeito Túnel.^[6]

Reflexão e tunelamento através de uma barreira potencial por um pacote de ondas. Uma parte do pacote de ondas passa através da barreira, o que não é possível pela física clássica.

Considerando um elétron e a densidade de probabilidade ${\displaystyle \Psi }$ da onda de matéria associada a ele, podemos pensar em três regiões: antes da barreira potencial (região I), a região de largura L da barreira (região II) e uma região posterior à barreira (região III). A abordagem da mecânica quântica é baseada na equação de Schrödinger, a qual tem solução para todas as 3 regiões. Nas regiões I e III, a solução é uma equação senoidal, enquanto na segunda - a solução é uma função exponencial. Nenhuma das probabilidades é zero, embora na região III a probabilidade seja bem baixa.^[2]

O coeficiente de transmissão (T) de uma determinada barreira é definido como uma fração dos elétrons que conseguem atravessá-la. Assim, por exemplo, se T= 0,020, isso significa que para cada 1000 elétrons que colidem com a barreira, 20 elétrons (em média) a atravessam e 980 são refletidos.

${\displaystyle T=e^{-2bL}}$ , ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}}$

Por causa da forma exponencial da equação acima, o valor de T é muito sensível às três variáveis de que depende: a massa m da partícula, a largura L da barreira e a diferença de energia de Ub-E entre a energia máxima da barreira e a energia da partícula. Constatamos também pelas equações que T nunca pode ser zero.^[6]